Aktuelle Lage auf Lesbos - Asylverfahren durch die EU?

Nach dem Brand in Moria war die katastrophale Lage auf Lesbos (und anderen griechischen Inseln) in aller Munde. Nun ist sie ein bisschen in den Hintergrund geraten, obwohl der Herbst mit Sturm und Regen auch in Griechenland eingetroffen ist.
Im Deutschlandfunk - Der Tag ( https://www.deutschlandfunk.de/der-tag-beherbergung-ja-nein-vielleicht.3415.de.html?dram:article_id=485632 ) habe ich gehört, dass nun ein neues Zeltlager aufgebaut wurde, wo erneut prekäre Zustände herrschen. Außerdem wurde dort von einer Überlegung gesprochen, dass die EU selbst die Asylanträge bearbeitet.
Geht das überhaupt? Hat sie hierzu die Kompetenz? Und wie geht es den Menschen vor Ort?